[动态规划]有线电视网

题目传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1273

----------

####题目描述
某收费有线电视网计划转播一场重要的足球比赛。他们的转播网和用户终端构成一棵树状结构，这棵树的根结点位于足球比赛的现场，树叶为各个用户终端，其他中转站为该树的内部节点。

从转播站到转播站以及从转播站到所有用户终端的信号传输费用都是已知的，一场转播的总费用等于传输信号的费用总和。

现在每个用户都准备了一笔费用想观看这场精彩的足球比赛，有线电视网有权决定给哪些用户提供信号而不给哪些用户提供信号。

写一个程序找出一个方案使得有线电视网在不亏本的情况下使观看转播的用户尽可能多。

####输入格式：
输入文件的第一行包含两个用空格隔开的整数N和M，其中2≤N≤3000，1≤M≤N-1，N为整个有线电视网的结点总数，M为用户终端的数量。

第一个转播站即树的根结点编号为1，其他的转播站编号为2到N-M，用户终端编号为N-M+1到N。

接下来的N-M行每行表示—个转播站的数据，第i+1行表示第i个转播站的数据，其格式如下：

K A1 C1 A2 C2 … Ak Ck

K表示该转播站下接K个结点(转播站或用户)，每个结点对应一对整数A与C，A表示结点编号，C表示从当前转播站传输信号到结点A的费用。最后一行依次表示所有用户为观看比赛而准备支付的钱数。

####输出格式：
输出文件仅一行，包含一个整数，表示上述问题所要求的最大用户数。

----------
##题解：
树形DP啊！
设$f[i][j]$为第 $i$ 个节点的子树中选 $j$ 个叶子(客户)进行服务的最大获利。注意，这个值可以是负数，所以初值要赋值为负无穷。

那么对于每个节点就有
$$f[i][j]=\max(f[i][j-p]+f[k][p]-cost[i][k])$$

$k$表示这个节点的子节点。

我们只需要处理每个节点的子树中包含多少个叶子节点，就可以优化背包空间上限 $j$ 。

而且注意dp时三个变量的枚举顺序，因为一个子节点不能重复讨论，所以要在最外层枚举。而且因为每个子节点的每种情况只能使用一次，那么就是一个普通背包问题，应该从大到小枚举背包空间。

看看代码片：
```
	for(int k=0;k<G[x].size();k++)
		for(int j=w[x];j>=1;j--)
			for(int p=1;p<=j;p++)
			    dp[x][j]=max(dp[x][j],dp[x][j-p]+dp[G[x][k].e][p]-G[x][k].v);
```
$w[x]$表示每个节点子树中的叶子个数。

----------
贴上代码：
```
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define maxn 3005
#define inf 999999999
using namespace std;
struct edge{int e,v;};
vector<edge> G[maxn];
int w[maxn],dp[maxn][maxn],v[maxn];
int n,p;
int dfs(int x)
{
	if(G[x].size()==0)
	{
		dp[x][1]=v[x];
		return 1;
	}
	for(int i=0;i<G[x].size();i++)
		w[x]+=dfs(G[x][i].e);
	for(int k=0;k<G[x].size();k++)
		for(int j=w[x];j>=1;j--)
			for(int p=1;p<=j;p++)
				dp[x][j]=max(dp[x][j],dp[x][j-p]+dp[G[x][k].e][p]-G[x][k].v);
	return w[x];
}
int main()
{
	for(int i=0;i<maxn;i++) for(int j=0;j<maxn;j++) dp[i][j]=-inf;
	for(int i=0;i<maxn;i++) dp[i][0]=0;
	scanf("%d%d",&n,&p);
	for(int i=1;i<=n-p;i++)
	{
		int sz;
		scanf("%d",&sz);
		for(int j=1;j<=sz;j++)
		{
			int e,v;
			scanf("%d%d",&e,&v);
			G[i].push_back((edge){e,v});
		}
	}
	for(int i=1;i<=p;i++) scanf("%d",&v[i+(n-p)]);
	dfs(1);
	int ans;
	for(ans=w[1];ans>=1;ans--) if(dp[1][ans]>=0) break;
	printf("%d",ans);
}
```

PhantasmDragon 's Blog